حل نظام من معادلتين خطيتين بيانيًا: اكتشف الطريقة المثلى لحل المعادلات ببساطة وفعالية!
يعد حل نظام من معادلتين خطيتين من الموضوعات الأساسية في مجال الرياضيات، حيث يرتبط بفهم كيفية التعامل مع المعادلات التي تحتوي على متغيرين،تتطلب هذه العملية اتخاذ خطوات دقيقة لاستخراج القيم المطلوبة للمتغيرات المدروسة،سنتناول في هذا المقال كيفية حل هذه الأنظمة وطرق تمثيلها بيانيًا، مما يسهل على الطالب فهم هذا الجانب المهم من الرياضيات،سيساهم هذا الشرح في تعزيز المعرفة الأساسية لدى الطلاب حول المعادلات الثنائية وطرق حلها باستخدام طرق رياضية متعددة.
حل نظام من معادلتين خطيتين بيانيًا
يجب أن نلاحظ أنه في حالة وجود معادلة واحدة تحتوي على متغير واحد، تكون عملية الحل سهلة وغير معقدة،ومع ذلك، في حالة وجود متغيرين، مثل المعادلة (س + ص = 20)، يجب علينا البحث عن معادلة إضافية تمثل المتغيرين معًا،يمكن كتابة ذلك على سبيل المثال كالتالي
س + ص = جـ
عندما ندمج المعادلتين في نظام واحد، فإن هذا يسمى “نظام” في الرياضيات، حيث نحتاج إلى إيجاد قيم لـ “س” و “ص”،الطريقة التي سنستخدمها لحل هذا النظام هي التمثيل البياني، وبالتالي يمكننا تحديد التقاطعات بين المعادلتين.
طريقة بالمثال لحل نظام من معادلتين خطيتين بيانيًا
لنفترض أن لدينا النظام التالي
ص = م1 س + ب1
ص = م2 س + ب2
الطرق الممكنة لحل هذا النظام هي كما يلي
- حل وحيد
- عدد لا نهائي من الحلول
- مستحيل الحل
إذا كان النظام يتميز بحل وحيد، فإنه يظهر على شكل زوج مرتب (س، ص) والذي يُحدد إحداثياته على محوري السينات والصادات.
أنواع الأنظمة
تتميز الأنظمة التي تعرفنا عليها سابقًا بنوعين رئيسيين بناءً على حلولها،النوع الأول هو النظام المتسق الذي يحتوي على حل، سواء كان هذا الحل وحيدًا أو عددًا لا نهائيًا من الحلول،أما النوع الثاني، فهو النظام غير المتسق، الذي لا يحتوي على أي حل،لذا، فإن كلمة “متسق” تشير إلى وجود حل من عدمه.
هناك أيضًا أنواع أخرى من الأنظمة المتسقة، حيث يمكن أن تُصنف إلى
- نظام مستقل وهو النظام المتسق الذي يحتوي على حل وحيد.
- نظام غير مستقل وهو النظام المتسق الذي يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول.
يمكننا أيضًا تحديد نوع النظام من خلال التمثيل البياني كما يلي
- إذا تقاطعت المستقيمات في نقطة واحدة، فإن النظام يسمى “متسق مستقل”.
- إذا كانت المستقيمات متطابقة، فهنا يوجد عدد لا نهائي من الحلول، ويطلق على النظام اسم “متسق غير مستقل”.
- إذا كانت المستقيمات متوازية، فلا يوجد أي تقاطع، وبالتالي يكون النظام “غير متسق”.
يمكن تحديد نوع النظام دون الحاجة للرسم، من خلال استنتاج الميل
- إذا كان ميل المستقيم الأول يختلف عن ميل المستقيم الثاني، فهذا يعني أن النظام “متسق مستقل”.
- إذا كان الميل في المستقيم الأول يساوي الميل في المستقيم الثاني، ثم يتساوى الجزء المقطوع من كلا المستقيمين، فإن النظام “متسق وغير مستقل”.
- وأخيرًا، إذا تساوى الميل في المستقيمين، ولكن الجزء المقطوع يختلف، فإن النظام هنا يكون “غير متسق”.
مثال محلول على النظام
لتأكيد المعلومات، سنقدم مثالًا لحل نظام المعادلات التالية
المعادلة الأولى
ص = -2س + 3
ص = س – 5
طريقة الحل
أول خطوة تتطلب رسم المستقيمين على محور الإحداثيات، وملاحظة طريقة تفاعلهم،يتضح أن المستقيمين يتقاطعان في نقطة واحدة، مما يعني أن النظام هو “متسق ومستقل” ويعطي حلًا وحيدًا.
المعادلة الثانية
ص = -2س – ه
ص = -2س + 3
طريقة الحل
نرسم المستقيمين مرة أخرى ونلاحظ سلوكهم؛ نجد أن المستقيمين متوازيين، ولا يوجد نقطة تقاطع بينهما، مما يعني أن النظام “غير متسق”.
بهذه الطريقة، نستنتج الحل لكل نظام على حدة،نقدم ذلك توضيحًا لحل نظام من معادلتين خطيتين بيانيًا مع مثال يوضح الفكرة بشكل أفضل،نؤكد على ضرورة تدريب الطلاب بشكل متواصل على هذه الدروس الرياضية لتعزيز مهاراتهم.
